남구 수학학원 국희재 Day 164
고1 수학Ⅰ | 로그함수
로그함수의 그래프 (대표 유형 정리)
핵심 개념
로그함수의 그래프는 y=logax 형태로 나타나며, 이는 (1,0)을 지나는 역함수 그래프입니다. 이 그래프는 a의 값에 따라 모양이 달라지며, a>1일 때는 증가 함수, 0<a<1일 때는 감소 함수입니다. 로그함수의 그래프는 x축을 점근선으로 하며, y축과는 교차하지 않습니다.
로그함수의 그래프는 함수의 성질을 시각적으로 이해하는 데 중요한 도구입니다. 특히, 함수의 증가와 감소, 점근선의 위치 등을 통해 함수의 특성을 파악할 수 있습니다. 이러한 이해는 복잡한 함수의 분석이나 문제 해결에 필수적입니다.
로그함수의 그래프는 지수함수와 밀접한 관계가 있습니다. 로그함수는 지수함수의 역함수로, 두 함수는 서로의 그래프를 대칭적으로 나타냅니다. 이러한 관계는 함수의 변환과 해석에 중요한 역할을 합니다.
공식과 성질
y = logax
이 공식은 로그함수의 기본 형태를 나타냅니다. 여기서 a는 밑(base)이며, a>0이고 a≠1입니다. 로그함수는 (1,0)을 지나며, x>0인 범위에서 정의됩니다.
y = loga(bx + c)
이 응용 공식은 로그함수의 변형을 나타냅니다. bx+c 형태의 변환은 그래프의 이동과 축소/확대를 포함하며, 이를 통해 다양한 함수의 그래프를 분석할 수 있습니다.
단계별 예시
기초 단계
예시 1 – 가장 기본
y = log2x의 그래프를 그리세요.
→ 풀이: (1,0)을 지나며 x축을 점근선으로 하는 증가 함수입니다.
예시 2 – 기초 응용
y = log3(x-2)의 그래프를 그리세요.
→ 풀이: (3,0)을 지나며 x=2를 점근선으로 하는 증가 함수입니다.
중급 단계
예시 3 – 복합 문제
y = log5(2x+1)의 그래프를 분석하세요.
→ 풀이: (0.5,0)을 지나며 x=-0.5를 점근선으로 하는 증가 함수입니다.
예시 4 – 응용 유형
y = log7(-x+4)의 그래프를 그리세요.
→ 풀이: (3,0)을 지나며 x=4를 점근선으로 하는 감소 함수입니다.
심화 단계
예시 5 – 고난도 문제
내신/수능 수준 문제: y = log2(x2 – 4x + 4)의 그래프를 분석하세요.
→ 풀이: (2,0)을 지나며 x=2를 점근선으로 하는 함수입니다. x=2에서 그래프가 끊깁니다.
시험 대비 핵심
반드시 기억할 것
- 핵심 포인트 1 – 로그함수의 기본 형태와 점근선 이해
- 핵심 포인트 2 – 그래프의 이동과 변형
- 핵심 포인트 3 – 증가와 감소의 조건
- 핵심 포인트 4 – 함수의 정의역과 치역
- 핵심 포인트 5 – 지수함수와의 관계
실수 주의!
실수 1: 로그함수의 밑이 1이 될 수 없다는 점
실수 2: 정의역을 잘못 설정하는 경우
실수 3: 그래프의 점근선을 잘못 이해하는 경우
학습 팁
로그함수의 그래프를 그릴 때는 항상 점근선과 교점에 주의하세요. 그래프의 형태를 이해하면 문제 해결이 훨씬 쉬워집니다.
다양한 문제를 풀어보며 그래프의 변형에 익숙해지세요. 특히, 그래프의 이동과 축소/확대는 시험에서 자주 출제됩니다.