봉선동 수학학원 국희재 Day 81
고1 공통수학 | 도형의 방정식
외분점 공식 (대표 유형 정리)
핵심 개념
외분점 공식은 두 점 A(x1, y1)와 B(x2, y2)를 연결하는 선분을 m:n으로 외분하는 점 P의 좌표를 구하는 방법입니다. 외분점은 선분의 연장선상에 위치하며, 두 점 사이의 비율을 반영하여 위치를 결정합니다. 이 공식은 좌표평면에서 선분의 외부에 위치한 점의 좌표를 구하는 데 유용합니다.
외분점 공식은 기하학적 문제를 해결하는 데 필수적입니다. 특히, 도형의 방정식에서 선분의 외부에 있는 점을 찾을 때 사용됩니다. 이 개념은 여러 가지 도형 문제를 해결하는 데 중요한 도구로 작용합니다.
외분점 공식은 내분점 공식과 밀접한 관련이 있습니다. 두 공식 모두 선분의 특정 비율에 따라 점을 찾는 데 사용되며, 기하학적 문제를 해결하는 데 필수적인 역할을 합니다.
공식과 성질
(mx2 – nx1)/(m-n), (my2 – ny1)/(m-n)
이 공식은 두 점 A와 B를 연결하는 선분을 외분하는 점 P의 좌표를 구하는 데 사용됩니다. 외분점은 선분의 연장선상에 위치하며, 두 점 사이의 비율에 따라 위치가 결정됩니다. 이 공식은 좌표평면에서 외부 점의 좌표를 구하는 데 필수적입니다.
(mx2 + nx1)/(m+n), (my2 + ny1)/(m+n)
이 응용 공식은 내분점의 좌표를 구하는 데 사용됩니다. 내분점은 선분의 내부에 위치하며, 두 점 사이의 비율에 따라 위치가 결정됩니다. 외분점 공식과 함께 사용하여 다양한 기하학적 문제를 해결할 수 있습니다.
단계별 예시
기초 단계
예시 1 – 가장 기본
점 A(1, 2)와 B(5, 6)를 2:1로 외분하는 점 P의 좌표를 구하시오.
→ 풀이: P의 좌표는 ((2×5 – 1×1)/(2-1), (2×6 – 1×2)/(2-1)) = (9, 10)
예시 2 – 기초 응용
점 C(3, 4)와 D(7, 8)를 3:2로 외분하는 점 Q의 좌표를 구하시오.
→ 풀이: Q의 좌표는 ((3×7 – 2×3)/(3-2), (3×8 – 2×4)/(3-2)) = (15, 20)
중급 단계
예시 3 – 복합 문제
점 E(2, 3)와 F(8, 9)를 4:3으로 외분하는 점 R의 좌표를 구하시오.
→ 풀이: R의 좌표는 ((4×8 – 3×2)/(4-3), (4×9 – 3×3)/(4-3)) = (26, 33)
예시 4 – 응용 유형
점 G(4, 5)와 H(10, 11)를 5:4로 외분하는 점 S의 좌표를 구하시오.
→ 풀이: S의 좌표는 ((5×10 – 4×4)/(5-4), (5×11 – 4×5)/(5-4)) = (42, 51)
심화 단계
예시 5 – 고난도 문제
점 I(6, 7)와 J(12, 13)를 6:5로 외분하는 점 T의 좌표를 구하시오.
→ 풀이: T의 좌표는 ((6×12 – 5×6)/(6-5), (6×13 – 5×7)/(6-5)) = (72, 78)
시험 대비 핵심
반드시 기억할 것
- 핵심 포인트 1 – 외분점의 정의와 공식
- 핵심 포인트 2 – 내분점과의 차이점 이해
- 핵심 포인트 3 – 비율 계산의 정확성
- 핵심 포인트 4 – 문제 유형별 접근법
- 핵심 포인트 5 – 좌표 계산의 실수 방지
실수 주의!
실수 1: 비율을 잘못 적용하여 잘못된 좌표를 구하는 경우
실수 2: 외분과 내분을 혼동하여 문제를 잘못 풀이하는 경우
실수 3: 계산 과정에서 부호를 잘못 사용하는 경우
학습 팁
외분점 공식은 반복적인 연습을 통해 익숙해지는 것이 중요합니다. 다양한 문제를 풀어보며 비율 계산과 좌표 구하는 방법을 숙달하세요.
문제를 풀 때는 항상 비율과 좌표의 관계를 명확히 이해하고, 계산 과정에서 실수를 줄이기 위해 꼼꼼하게 검토하는 습관을 기르세요.