봉선동 수학학원 국희재 Day 63
고1 공통수학 | 도형의 방정식
외분점 공식
핵심 개념
외분점 공식은 두 점 A(x1, y1)와 B(x2, y2)를 m:n으로 외분하는 점 P의 좌표를 구하는 공식입니다. 이 공식은 선분을 외부에서 나누는 점을 찾는 데 사용되며, 점 P의 좌표는 (mx2 – nx1)/(m-n), (my2 – ny1)/(m-n)으로 계산됩니다.
외분점 공식은 기하학적 문제에서 특정 위치를 찾는 데 유용하며, 특히 도형의 방정식 문제에서 자주 사용됩니다. 이 공식은 좌표 평면에서의 위치 관계를 이해하는 데 중요한 역할을 합니다.
외분점 공식은 내분점 공식과 함께 사용되어 선분의 다양한 분할을 분석할 수 있습니다. 이러한 공식들은 도형의 방정식 문제를 해결하는 데 필수적인 도구입니다.
공식과 성질
(mx2 – nx1)/(m-n), (my2 – ny1)/(m-n)
이 공식은 두 점 A와 B를 외부에서 m:n으로 나누는 점 P의 좌표를 구하는 데 사용됩니다. 외분점은 선분을 외부에서 나누기 때문에, m과 n의 차이가 분모에 위치하게 됩니다.
(mx2 + nx1)/(m+n), (my2 + ny1)/(m+n)
이 공식은 내분점의 경우에 해당하며, 외분점 공식과 대조적으로 선분을 내부에서 나누는 점의 좌표를 구합니다. 외분점과 내분점 공식은 함께 사용되어 문제를 해결하는 데 도움을 줍니다.
단계별 예시
기초 단계
예시 1 – 가장 기본
점 A(2, 3)와 점 B(8, 7)를 2:3으로 외분하는 점 P의 좌표를 구하세요.
→ 풀이: P의 x좌표는 (2*8 – 3*2)/(2-3) = 16, y좌표는 (2*7 – 3*3)/(2-3) = 11. 따라서 P의 좌표는 (16, 11)입니다.
예시 2 – 기초 응용
점 A(-1, 4)와 점 B(5, -2)를 1:2로 외분하는 점 P의 좌표를 구하세요.
→ 풀이: P의 x좌표는 (1*5 – 2*(-1))/(1-2) = 7, y좌표는 (1*(-2) – 2*4)/(1-2) = 10. 따라서 P의 좌표는 (7, 10)입니다.
중급 단계
예시 3 – 복합 문제
점 A(3, -1)와 점 B(9, 5)를 3:4로 외분하는 점 P의 좌표를 구하세요.
→ 풀이: P의 x좌표는 (3*9 – 4*3)/(3-4) = 21, y좌표는 (3*5 – 4*(-1))/(3-4) = 19. 따라서 P의 좌표는 (21, 19)입니다.
예시 4 – 응용 유형
점 A(0, 0)와 점 B(6, 6)를 1:1로 외분하는 점 P의 좌표를 구하세요.
→ 풀이: P의 x좌표는 (1*6 – 1*0)/(1-1) = 6, y좌표는 (1*6 – 1*0)/(1-1) = 6. 따라서 P의 좌표는 (6, 6)입니다.
심화 단계
예시 5 – 고난도 문제
점 A(2, 2)와 점 B(10, 10)를 5:3으로 외분하는 점 P의 좌표를 구하세요.
→ 풀이: P의 x좌표는 (5*10 – 3*2)/(5-3) = 40, y좌표는 (5*10 – 3*2)/(5-3) = 40. 따라서 P의 좌표는 (40, 40)입니다.
시험 대비 핵심
반드시 기억할 것
- 핵심 포인트 1 – 외분점과 내분점의 차이를 명확히 이해하기
- 핵심 포인트 2 – m과 n의 차이를 분모로 사용하는 것에 주의
- 핵심 포인트 3 – 외분점은 선분의 외부에 위치한다는 점
- 핵심 포인트 4 – 공식 적용 시 부호에 주의하기
- 핵심 포인트 5 – 문제 유형별로 다양한 연습 필요
실수 주의!
실수 1: 외분점과 내분점을 혼동하지 않기
실수 2: m과 n의 차이를 분모로 사용할 때 부호에 주의
실수 3: 문제에서 요구하는 비율을 정확히 파악하기
학습 팁
외분점 공식은 다양한 문제에 적용될 수 있으므로, 여러 유형의 문제를 풀어보는 것이 중요합니다. 반복적인 연습을 통해 공식의 사용법을 익히고, 문제 해결 능력을 키우세요.
공식의 유도 과정을 이해하면, 문제를 해결할 때 더 유연하게 접근할 수 있습니다. 또한, 실수를 줄이기 위해 각 단계에서 계산을 꼼꼼히 확인하세요.